\documentclass{sig-alternate}

\begin{document}

\title{Controlando la producci\'{o}n}

\numberofauthors{2}

\author{
    \alignauthor
    Mui\~{n}a, Pablo\\
    \email{pmui\~{n}a@alu.itba.edu.ar} \\
    \ \\
    Valdivieso, Ignacio\\
    \email{ivaldivi@alu.itba.edu.ar} \\
}

\maketitle

\begin{abstract}
En este art\'{i}culo se analiza el sistema de inventario de productos en una 
empresa. El objetivo del documento es presentar los modelos a lazo abierto y 
lazo cerrado del sistema, y analizar su estabilidad. Por \'{u}ltimo se 
considera una regulaci\'{o}n de la tasa de ventas basada en los productos 
disponibles en el dep\'{o}sito de la empresa.
\end{abstract}

\keywords{Inventario, simulaci\'{o}n, lazo abierto, lazo cerrado, 
producci\'{o}n, ventas, dep\'{o}sito}

\section{Introducci\'{o}n}\label{introduccion}

El control en los niveles de inventario es vital para el correcto 
funcionamiento de muchas empresas productoras de bienes de diversa \'{i}ndole. 
En este art\'{i}culo se analiza el sistema, model\'{a}ndolo de diferentes 
maneras, y se estudia el comportamiento de dicho modelos.

En la secci\'{o}n \ref{abierto} se presenta un modelo a lazo abierto, y se 
estudia el mismo.

En la secci\'{o}n \ref{cerrado} se presenta un modelo a lazo cerrado, 
donde se controla el nivel de inventario con un valor de referencia
deseado.

En la secci\'{o}n \ref{ventas} se ajusta el modelo de control de la
secci\'{o}n \ref{cerrado}, para regular la tasa de ventas mediante la
existencia de inventario, y se realimenta en variables de estado.

En la secci\'{o}n \ref{conclusiones} se presentan las conclusiones obtenidas
a partir de la realizaci\'{o}n de las simulaciones.

\section{Modelo a lazo abierto}\label{abierto}

Se analiza la producci\'{o}n, venta y almacenamiento de productos en una 
empresa. Se consideran a los productos homog\'{e}neos, y la 
cantidad de productos manipulada muy grande. Gracias a estas 
consideraciones, se puede modelar el sistema como cont\'{i}nuo, y para un tipo 
de producto. El modelo que se presenta en esta secci\'{o}n se denomina modelo 
a lazo abierto, ya que no se introduce ning\'{u}n tipo de realimentaci\'{o}n 
al sistema para su control.

Considerando $x_{1}(t)$ como el nivel de inventario, $x_{2}(t)$ como la tasa de 
ventas del producto y la velocidad de variaci\'{o}n de la tasa de ventas 
como proporcional a la tasa de producci\'{o}n, $u(t)$, se obtiene: 

\begin{align}
\label{eq:1}
\frac{dx_{2}}{dt}(t)=-Ku(t)
\end{align}
donde $K$ es una constante tal que $K>0$.

Se define la velocidad de variaci\'{o}n del inventario como:

\begin{align}
\label{eq:2}
\dot{x}_{1}(t)=u(t)-x_{2}(t)
\end{align}
donde se considera $u(t)$ una constante positiva (producci\'{o}n 
constante).

Se puede ver en la ecuaci\'{o}n \ref{eq:2} que el inventario disponible 
var\'{i}a seg\'{u}n la diferencia entre las producci\'{o}n y las ventas. Se 
observan tres casos claramente diferenciados:

\begin{enumerate}
\item Si $x_{2}(t)<u(t)$ el nivel de inventario aumenta, ($\dot{x}_{1}(t)>0$) 
ya que se produce mas de lo que se vende.
\item Si $x_{2}(t)>u(t)$ el inventario disminuye, ($\dot{x}_{1}(t)<0$) ya que 
se vende m\'{a}s de lo que se produce.
\item Si $x_{2}(t)=u(t)$ la cantidad de elementos en el inventario permanece 
constante ($\dot{x}_{1}(t)=0$) ya que se vende y se produce la misma cantidad.

\end{enumerate} 

En la figura $1$ se puede observar como var\'{i}a el inventario 
y las ventas en el tiempo para el modelo a lazo abierto. Se puede ver que la 
cantidad de inventario describe una par\'{a}bola de acuerdo a los casos 
$\dot{x}_{1}(t)>0$, $\dot{x}_{1}(t)<0$ y $\dot{x}_{1}(t)=0$, y que las
ventas disminuyen de manera constante. Se consideran $x_{1}(0) = 30$ y 
$x_{2}(0) = 10$.

\begin{figure}[t]
\label{fig:abierto}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{lazoAbierto}
\caption{Niveles de inventario y ventas para $K=0.1$}
\end{figure}

\section{Modelo a lazo cerrado}\label{cerrado}

En esta secci\'{o}n se modifica el modelo presentado en la secci\'{o}n 
\ref{abierto}, controlando el nivel de inventario. Se toma como output 
$y(t)=x_{1}(t)$, y se considera una funci\'{o}n de referencia $r(t)$. 
De esta manera, se obtiene:

\begin{align}
\label{eq:3}
u(t)= r(t) - y(t)
\end{align}
con $r(t)$ constante.

Remplazando \ref{eq:3} en \ref{eq:2}, se obtiene:

\begin{align}
\label{eq:4}
\dot{x}_{1}(t) = r(t) - x_{1}(t) - x_{2}(t)
\end{align}

Remplazando \ref{eq:3} en \ref{eq:1}, se obtiene:

\begin{align}
\label{eq:5}
\frac{dx_{2}}{dt}(t)=-K(r(t) - x_{1}(t))
\end{align}
con $r(t)$ constante en ambos casos para mantener constante la cantidad de 
productos en el inventario.

Definiendo el vector de estado $x = (x1\,x2)^{T}$, el modelo del sistema 
descripto en variables de estado es:

\begin{align}
\label{eq:6}
\frac{dx}{dt} = Ax + br
\end{align}
donde la matriz $A$ y el vector $b$ son:

\begin{equation}
\label{eq:mat1}
	A =
	\left(
	\begin{matrix} 
		-1	&	-1 \\
		K	&	0
	\end{matrix}
	\right); b =
	\left(
	\begin{matrix} 
		1 \\
		-K
	\end{matrix}
	\right)
\end{equation}

Para analizar la estabilidad, se propone una soluci\'{o}n $x = ae^{\lambda t}$ para el sistema homog\'{e}neo, con lo que se obtiene:

\begin{equation}
\label{eq:7}
\lambda a = Aa
\end{equation}
donde resulta que $\lambda$ son los autovalores de la matriz $A$ y $a$ sus 
respectivos autovectores. Haciendo $\lambda Id - A$, donde $Id$ es la matriz 
identidad y calculando el determinante se obtiene:

\begin{equation}
\label{eqn:mat2}
  	\bigg\vert
	\lambda Id - A
	\bigg\vert
	=
	\bigg\vert
	\begin{matrix} 
		\lambda + 1 	&	1 \\
		-K		&	\lambda
	\end{matrix}
	\bigg\vert
	= (\lambda +  1)\lambda + K = 0
\end{equation}
de donde se obtienen los autovalores:

\begin{align}
\label{eq:8}
\lambda_{1} = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4K}}{2}
\end{align}

\begin{align}
\label{eq:9}
\lambda_{2} = \frac{-1 - \sqrt{1 - 4K}}{2}
\end{align}

A partir de estas ecuaciones se puede ver que para $0 < K \leq \frac{1}{4}$ 
los autovalores $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ son reales negativos, por lo que 
el sistema es asint\'{o}ticamente estable. Para $K > \frac{1}{4}$ dichos 
autovalores son imaginarios conjugados, y su parte real es menor a cero, por 
lo que el sistema muestra oscilaciones y es estable.

Tomando $r(t) = 40$, considerando $x_{1}(0) = 30$ y $x_{2}(0) = 10$, se 
obtiene para distintos valores de $K$, la variaci\'{o}n del inventario 
(figura $2$) y la variaci\'{o}n de las ventas 
(figura $3$).

\begin{figure}[t]
\label{fig:cerradoInv}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{inventarioLazoCerrado}
\caption{Niveles de inventario para distintos valores de $K$}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\label{fig:cerradoVen}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{ventasLazoCerrado}
\caption{Niveles de ventas para distintos valores de $K$}
\end{figure}

Como se puede ver, para valores de $K < 0.25$, el inventario tiende 
asint\'{o}ticamente a $40$, y las ventas tienen asint\'{o}ticamente a $0$.
Para valores de $K > 0.25$ el nivel de inventario oscila, tendiendo a $40$ y 
las ventas oscilan tendiendo a $0$.

\section{Modelo a lazo cerrado con control de tasa de ventas}\label{ventas}

En esta secci\'{o}n se modifica el modelo que se presenta en la secci\'{o}n 
\ref{cerrado}, regulando la variaci\'{o}n de la tasa de ventas de acuerdo 
a la cantidad de productos en el inventario. De esta manera resulta que:

\begin{align}
\label{eq:10}
\frac{dx_{2}}{dt}(t) = 6x_1(t) - Ku(t)
\end{align}

Adem\'{a}s se realimenta en variables de estado, por lo que $u(t)$ queda de
la forma:
\begin{align}
\label{eq:newut}
u(t)= r(t) - k_1 x_1(t) - k_2 x_2(t)
\end{align}

La matriz $A$ y el vector $b$ del modelo, son:

\begin{equation}
\label{eq:mat3}
	A =
	\left(
	\begin{matrix} 
		-k_1	&	-1 - k_2 \\
		6 + Kk_1	&	Kk_2
	\end{matrix}
	\right); b =
	\left(
	\begin{matrix} 
		1 \\
		-K
	\end{matrix}
	\right)
\end{equation}

Realizando operaciones an\'{a}logas a las que se ven en \ref{eqn:mat2} se 
obtiene:

\begin{equation}
\label{eq:11}
\lambda^2 + (k_1 - Kk_2)\lambda + 6 + Kk_1 + 6k_2 = 0
\end{equation}

Como se desea que el sistema se mantenga estable, es necesario que las 2
ra\'{i}ces de \ref{eq:11} tengan parte real negativa. En particular se
desea que las ra\'{i}ces  no tengan parte imaginaria, haciendo as\'{i} que
el sistema sea estable de forma asint\'{o}tica. Se eligen entonces los
siguientes autovalores:
\begin{equation}
\label{eq:autovals}
\lambda_1 = -1.2, \lambda_2 = -1.8
\end{equation}

A partir de la ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica que se obtiene con
\ref{eq:autovals}, y comparando con \ref{eq:11}, se llega al siguiente
sistema de ecuaciones:
\begin{equation}
\label{eq:12}
k_1 - Kk_2 = 3
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:13}
Kk_1 + 6k_2 + 6 = 2.16
\end{equation}

Para distintos valores de K, reemplazando en \ref{eq:12} y \ref{eq:13},
se obtienen los valores que se muestran en la tabla \ref{tab:k1k2}.
Tomando $r(t) = 40$, considerando $x_{1}(0) = 30$ y $x_{2}(0) = 10$, se 
obtiene para los distintos valores de la tabla \ref{tab:k1k2}, la 
variaci\'{o}n del inventario (figura $4$) y la variaci\'{o}n de
las ventas (figura $5$).

\begin{table}[!t]
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\caption{$k_1$ y $k_2$ para distintos valores de $K$}
\centering
\begin{tabular}{c c c}
\hline
\hline
$K$ & $k_1$ & $k_2$\\
\hline
0.1  &  2.9311  & -0.6889 \\
0.8  &  2.2482  & -0.9398 \\
2    &  1.0320  & -0.9840 \\
4    &  0.1200  & -0.7200 \\
7    & -0.1615  & -0.4516 \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\label{tab:k1k2}
\end{table}

\begin{figure}[t]
\label{fig:cerradoInv2}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{inventarioLazoCerrado2}
\caption{Niveles de inventario para distintos valores de $K$. Tasa de ventas regulada}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\label{fig:cerradoVen2}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{ventasLazoCerrado2}
\caption{Niveles de ventas para distintos valores de $K$. Tasa de ventas regulada}
\end{figure}

En las figuras $4$ y $5$ se puede ver como al haberse elegido autovalores con
parte real negativa y parte imaginaria igual a 0, el modelo se comporta de
forma estable para distintos valores de $K$. Se puede ver que en el caso de las
ventas estas se estabilizan siempre en el mismo valor, variando con distintos
valores de $K$ la velocidad a la que se estabiliza.

\section{Conclusiones}\label{conclusiones}

En este art\'{i}culo se puede ver la clara ventaja de un modelo a lazo cerrado 
sobre uno a lazo abierto. El modelo a lazo abierto resulta inestable, mientras 
que el modelo a lazo cerrado se estabiliza, controlando el estado del sistema 
seg\'{u}n se lo desee. Esto es de vital importancia en un sistema real, donde 
el control del mismo puede significar grandes ahorros de dinero.

En el caso del modelo a lazo abierto se puede ver que al no haber 
realimentaci\'{o}n, la variaci\'{o}n en el nivel del inventario describe una 
par\'{a}bola, y las ventas tienden a cero.

En el caso de lazo cerrado, al controlarse la salida con la cantidad de 
inventario se logra estabilizar el inventario en un valor deseado, que se 
introduce como objetivo al sistema de control.

Por \'{u}ltimo, en el caso del modelo a lazo cerrado controlando la 
variaci\'{o}n de la tasa de ventas con el nivel del inventario, y realimentando
en variables de estado se obtiene tanto las ventas como el inventario se
estabilizan. Variando los valores de $K$ se obtienen distintos valores en los
que se estabiliza la cantidad de inventario, no siendo as\'{i} para el caso
de las ventas. En un negocio de verdad esto es un comportamiento deseable.

\end{document}
